Dinâmica Não Linear

Professor:
Americo Barbosa da Cunha Junior
americo@ime.uerj.br
Tel.: (21) 2334-0323 ramal: 208
Sala 6032, Bloco B

Turma:
  • 6ª feira de 14:30 às 18:00h -- Sala 6015, Bloco F
Objetivos:
Apresentar aos alunos de ciências exatas noções fundamentais da teoria de sistemas dinâmicos e mostrar diversos exemplos de aplicações (física, engenharias, biologia etc) onde esses são utilizados como modelos para descrever fenômenos com dependência temporal. Além de expor o ferramental matemático necessário à análise desses sistemas, o curso também busca levar o aluno ao mundo dos sistemas dinâmicos pela discussão das ideias básicas por trás da construção de modelos dinâmicos e, principalmente, por
 atividades computacionais que trabalham todos os conceitos teóricos apresentados.

Cronograma:
  • O planejamento do semestre pode ser visto no Cronograma de Atividades.

Ementa:

1 - O que é um Sistema Dinâmico?
  • Noção intuitiva de sistema dinâmico
  • Alguns exemplos
2 - Fundamentos da Teoria Sistemas Dinâmicos
  • Mapas iterados e problemas de valor inicial
  • Espaço de estados
  • Sistemas autônomos e não autônomos
  • Sistemas conservativos e não conservativos
  • Sistemas lineares e não lineares
  • Existência e unicidade de soluções para EDOs
  • Dependência das soluções com os parâmetros
3 - Oscilador Linear: o modelo fundamental
  • Resposta livre
  • Resposta à excitação harmônica
  • Resposta à excitação transiente
  • Resposta geral com perturbações iniciais
  • Comportamento energético
  • Retrato de fase do oscilador
4 - Integração Numérica
  • Noções elementares de programação
  • Método de Euler explícito
  • Método de Runge-Kutta de 4ª ordem
5 - Fluxos Unidimensionais
  • Interpretação geométrica de soluções
  • Equilíbrio e estabilidade
  • Análise linear de estabilidade
  • Bifurcações
6 - Fluxos Bidimensionais
  • Classificação de sistemas lineares
  • Retrato de fase
  • Equilíbrio e linearização
  • Sistemas conservativos e não conservativos
  • Ciclos limites
  • Bifrucações
  • Mapas de Poincaré
7 - Sistemas Caóticos
  • Sistema de Lorenz
  • Características de sistemas caóticos
  • Atratores estranhos
  • Explorando o espaço de parâmetros
  • Outros exemplos de sistemas caóticos

Avaliação:
A avaliação do curso será feita com base em:
  • Trabalho 1
  • Trabalho 2
Sendo a nota final do curso calculada da seguinte forma: NF = (1/2)*(Trabalho 1 + Trabalho 2)
Estará aprovado o aluno que obtiver nota final maior ou igual a:
(i) cinco, i.e. NF >= 5,0 (graduação); ou 
(ii) sete, i.e. NF >= 7,0 (pós-graduação).

Referências do curso:

  Stephen Strogatz, 
Nonlinear Dynamics And Chaos: With Applications To Physics, Biology, Chemistry, And Engineering , 
Westview Press, 2nd Edition, 2015.
Disponível na Amazon
  Morris W. Hirsch, Stephen Smale and  Robert L. Devaney,
Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 
Academic Press, 3rd Edition, 2012
Disponível na Amazon
  Lawrence Perko,
Differential Equations and Dynamical Systems, 
Springer, 3rd edition, 2006
Disponível na Amazon
  Ali H. Nayfeh and  Balakumar Balachandran,
Applied Nonlinear Dynamics: Analytical, Computational, and Experimental Methods, 
Wiley-VCH, Fifth edition, 1995
Disponível na Amazon

Artigos da Scholarpedia:

Material complementar:

Computação Científica:
Neste curso iremos desenvolver algumas atividades computacionais. 
Para tal, os alunos poderão utilizar GNU Octave ou Python

Trabalhos:
  • Trabalho 1
  • Trabalho 2 - elabore uma apresentação oral, com auxílio de slides, para discutir os resultados do Trabalho 1

Referências para estudos complementares:

John Guckenheimer and Philip Holmes,
Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields,
Springer, 1st ed. 1983. Corr. 6th printing 2002
Disponível na Amazon
 P. G. Drazin,
Nonlinear Systems,
Cambridge University Press, 1992
Disponível na Amazon
Robert Hilborn,
Chaos and Nonlinear Dynamics: An Introduction for Scientists and Engineers,
Oxford University Press; 2 edition, 2001
Disponível na Amazon
Francis C. Moon,
Chaotic and Fractal Dynamics: Introduction for Applied Scientists and Engineers,
Wiley-VCH; 2 edition, 1992
Disponível na Amazon
John M. Gottman,
The Mathematics of Marriage: Dynamic Nonlinear Models,
A Bradford Book, 2005
Disponível na Amazon


Artigos interessantes:
  • mais artigos a serem incluídos
  • M. Cattani, I. L. Caldas, S. L. Souza and  K. C. Iarosz, Deterministic Chaos Theory: Basic Concepts, Revista Brasileira de Ensino Física, 39 (1), e1309,  2017. http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-rbef-2016-0185
  •  A. Wolf, J. Swift, H. Swinney and J. Vastano, Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D 16 (1985), 285–317. https://doi.org/10.1016/0167-2789(85)90011-9
  • C. Fischer and J. Náprstek, Strategies for computation of Lyapunov exponents estimates from discrete data. In: J. Chleboun, P. Kůs, P. Přikryl, M. Rozložník, K. Segeth, J. Šístek and T. Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Hejnice, June 24-29, 2018. Institute of Mathematics CAS, Prague, 2019. pp. 55–62. https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/703087

Nonlinear and Chaotic People:
(sugestões de nomes são bem vindas)